Использование Microsoft Excel для расчета экономико-математических моделей

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Экономическая наука давно пользуется моделями. Одной из первых была модель воспроизводства, разработанная французским ученым Ф. Кенэ еще в XVIII в. А в XX в. первая общая модель развивающейся экономики была сконструирована Дж. фон Нейманом. Значительный опыт построения экономико-математических моделей. накоплен отечественными учеными, применявшими их для анализа экономических процессов, прогнозирования и планирования во всех звеньях и на всех уровнях экономики, вплоть до планирования развития народного хозяйства страны в целом, особенно перспективного.

Существует большое число классификаций типов экономико-математических моделей. Рассмотрим один из типов – балансовую мо­ дель ̶ это система уравнений (балансовых соотношений, балансовых уравнений), которые удовлетворяют требованию соответствия двух элементов: наличия ресурса и его использования (напр., производства каждого продукта и потребности в нем, рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг). Соответствие понимается либо как равенство, либо менее жестко – как достаточность ресурсов для покрытия потребности.

При описании экономической системы в целом – система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. Следовательно, в данном случае рассматриваемая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт, частично потребляемый другими объектами системы, частично выводимый за ее пределы в качестве ее конечного продукта.

Важнейшие виды балансовых моделей: 1) частные материальные, трудовые, финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей; 2) межотраслевые балансы страны в целом и регионов, а на уровне предприятий – матричные модели бизнес-планов.

Основная информация для балансовых моделей содержится в матрице коэффициентов затрат ресурсов на конкретные направления использования (напр., в технологической матрице межотраслевого баланса).

Технологическая матрица-таблица межотраслевого баланса составленная из коэффициентов (нормативов) прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении технологических коэффициентов.

Рассмотрим модель межотраслевого баланса, называемую еще моделью Леонтьева или моделью «затраты-выпуск».

Предположим, что производственный сектор народного хозяйства разбит на п отраслей (энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т. д.).

Рассмотрим отрасль i, i = 1, 2,..., n. Она выпускает некую продукцию за данный промежуток времени (например, за год) в объеме х_i, называемом еще валовым выпуском. Часть объема продукции x_i произведенной i-ой отраслью, используется для собственного производства в объеме х_ii, часть поступает в остальные отрасли j = 1,…n для потребления при производстве в объемах х_ij и некоторая часть объемом у_i, для потребления в непроизводственной сфере ( y_i, называют еще конечным потреблением, конечным спросом, прибавочным или конечным продуктом). Перечисленные сферы распределения валового продукта i-ой отрасли приводят к соотношениям баланса:

x_i=x_i1+x_i2 +….+x_in+y_i=,i=1,2,..., n

Введем коэффициенты прямых затрат a_ij, которые показывают, сколько единиц продукции i-ой отрасли затрачивается на производство одной единицы продукции в отрасли j. Тогда количество продукции, произведенной в отрасли i в объеме х_ij и поступающей для производственных нужд в отрасль j, можно записать в виде:

x_ij=a_ijx_j

Полагая сложившуюся технологию производства во всех отраслях неизменной (за рассматриваемый период времени), так что коэффициенты прямых затрат a_ij, можно считать постоянными, получаем следующие соотношения баланса (модель Леонтьева):

x_i=, где i = 1,2,..., п. (1)

Введя вектор валового выпуска X, матрицу прямых затрат A и вектор конечного потребления Y:

, , Y=

запишем модель Леонтьева (1) в матричном виде:

X = AX+Y. (2)

Матрица А ≥ 0, у которой все элементы неотрицательны (a_ij≥0) называется продуктивной матрицей, если существует такой неотрицательный вектор Х≥ 0, для которого выполняется неравенство

Х>АХ.

Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей данной экономической системы, при котором продукции выпускается больше, чем затрачивается на ее производство. Другими словами, при этом режиме создается конечный (прибавочный продукт:

Y=X-AX>0.

Модель Леонтьева с продуктивной матрицей А называется продуктивной (или работоспособной) моделью.

Продуктивность матрицы А устанавливается с помощью одного из двух равносильных условий:

1) матрица А продуктивна, если существует обратная матрица

В = (Е-А) ^-1

с неотрицательными элементами (матрица полных материальных затрат), где матрица Е - единичная матрица:

;

2) матрица А продуктивна, если сумма элементов каждого ее столбца (строки) не превосходит единицы: ≤ 1 и хотя бы для одного столбца (строки) сумма элементов строго меньше единицы: <1

По модели Леонтьева (2) можно выполнить два вида расчетов при условии продуктивности матрицы А:

1) зная (или задавая) объемы валовой продукции всех отраслей X,можно определить объемы конечной продукции всех отраслей У:

Y=(E-A)X;

2) задавая величины объемов конечной продукции всех отраслей Y,можно определить величины валовой продукции каждой отрасли X:

X=(E-A)^-1Y = BY. (3)

Элементы b_ij матрицы полных материальных затрат В = (Е - А)^-1 показывают, сколько всего необходимо произвести продукции в i-ой отрасли для выпуска в сферу конечного потребления единицы продукции отрасли j

Пример с использованием технологи Ехcel

Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица прямых затрат А и вектор конечного продукта У известны:

А= , У=

Необходимо:

1) найти матрицу полных материальных затрат В;

2) проверить продуктивность матрицы А;

3) определить вектор валового выпуска X;

4) определить межотраслевые поставки продукции х_ij каждой отрасли i в каждую отрасль j

Математическая модель и последовательность расчетов

Запишем модель Леонтьева в матричном виде:

X = АХ + Y.

Матрица полных материальных затрат В равна:

В = (Е-А)^-1.

Продуктивность матрицы А проверяется по вычисленной матрице В. Если эта матрица существует и все ее элементы неотрицательны, то матрица А продуктивна.

Вектор валового выпуска X рассчитывается по формуле

X=BY.

Межотраслевые поставки продукции x_ij вычисляются по формуле

x_ij = a_ij х_j

Процесс решения задачи средствами Microsoft Excel

Для решения задачи межотраслевого баланса необходимо уметь выполнять с помощью Excel следующие операции над матрицами:

1. Задание исходных данных задачи.

Открыть Microsoft Excel. Ввести матрицу А в ячейки с адресами А2:С4 и вектор Y в ячейки с адресами Е2:Е4 (рис. 1).

Рис.1. Исходные данные задачи

2. Вычисление матрицы коэффициентов полных материальных затрат В.

Ввести единичную матрицу Е ячейки с номерами А7:С9 (см. рис. 2).

Рис. 2. Единичная матрица

Вычислить матрицу (Е-А), являющуюся разностью двух матриц Е и А. Для вычисления разности двух матриц необходимо проделать; следующее:

Рис. 3. Вычисление матрицы (Е-А)

Вычислить матрицу В = (Е-А)^-1, являющуюся обратной по отношению к матрице Е-А. Матрица (Е-А) расположена в ячейках с адресами; А12:С14. Для вычисления матрицы В необходимо проделать следующее:

В = (Е-А)^-1 (рис. 4).

Рис.4. Вычисление матрицы В = (Е-А)^-1

3. Проверка продуктивности матрицы А.

Поскольку матрица В найдена и все ее элементы неотрицательны, то согласно признаку продуктивности матрица А – продуктивна.

4. Вычисление вектора валового выпуска X.

Вектор валового выпуска X находим по матричной формуле (3). (X = ВY), в которой В – вычислена, а вектор Y – задан.

Вычисление вектора X = BY производится с помощью операции умножения матрицы В на вектор Y. Для этого необходимо:

Рис. 5. Диалоговое окно умножения матриц МУМНОЖ

Результат вычислений показан на рис. 6

Рис. 6. Вектор валового выпуска X

5. Вычисление межотраслевых поставок продукции х_ij.

Межотраслевые поставки продукции х_ij вычисляются по формуле:

х_ij=a_ij х_j.,

где a_ij – элементы исходной матрицы А, расположенной в ячейках А2:С4,

х_j – элементы вектора X (найденного в п. 4) и расположенные в ячейках Е7:Е9.

5.1. Для вычисления величин х_ijнеобходимо проделать cследующее: вычислить транспонированный вектор X^Т. При этом вектор-столбец Х^Т станет вектором-строкой X^Т. Это необходимо для согласования размерностей дальнейшего умножения элементов векторов. Для этого:

Рис. 7. Диалоговое окно транспонирования матрицы ТРАНСП

Рис.8. транспонированный вектор Х^Т

5.2. Вычислить межотраслевые поставки продукции х_ij, которые будут расположены в ячейках А22:С24. Для этого необходимо проделать следующие операции:

В результате получаем матрицу отраслевых поставок (рис. 9).

Рис. 9. Матрица межотраслевых поставок